Th1: D là trung điểm của AB (như hình vẽ) khi đó
$BD=BM$ $(=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{BC}{2}$, do $\Delta ABC$ đều$)$
$\Rightarrow\widehat{ADM} $ cân đỉnh B
$\Rightarrow\widehat{BDM}=\dfrac{180^o-\widehat B}{2}=\dfrac{180-60^o}{2}=60^o$
$\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{BAC}=60^o$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $DM//AC$
$\Rightarrow DM$ không cắt AC nên không có điểm E
Th2: D nằm gần điểm A hơn (như hình vẽ)
Khi đó D nằm giữa E và M $\Rightarrow ME=MD+DE>DM$ (đpcm)
Th3: D nằm gần B hơn
Qua C dựng tia Cx sao cho $\widehat{MCx}=60^o$, $Cx\cap ME=P$ (như hình vẽ)
Xét $\Delta BMD$ và $\Delta CMP$ có:
$\widehat{DBM}=\widehat{PCM}=60^o$
$BM=CM$ (do m là trung điểm của BC)
$\widehat{BMD}=\widehat{CMP}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta BMD=\Delta CMP$ (g.c.g)
$\Rightarrow MD=MP<MP+PE=ME$ (đpcm)
