Cho hình thang cân \(ABCD\,\,\,\left( {AB\parallel CD} \right);\) \(CD = 2AD = 2AB = 8\). Tính diện tích của hình thang đó. A.\(12\sqrt 2 \) B.\(12\sqrt 3 \) C.\(12\) D.\(12\sqrt 6 \)
Phương pháp giải: - Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\). Chứng minh \(ABKH\) là hình chữ nhật. - Tính \(DH,\,\,CK\). - Áp dụng định lí Pytago tính \(AH\). - Tính diện tích hình thang: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\). Giải chi tiết: Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\). Xét tứ giác \(ABKH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel HK\\AH\parallel BK\end{array} \right.\), suy ra \(ABKH\) là hình bình hành. Lại có \(\angle AHK = {90^0}\) nên \(ABKH\) là hình chữ nhật, do đó \(HK = AB = 4\). Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta BCK\) có: \(\angle AHD = \angle BKC = {90^0}\); \(AD = BC\) (tính chất hình thang cân); \(\angle ADH = \angle ACK\) (tính chất hình thang cân). \( \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow DH = CK\) (hai cạnh tương ứng). Mà \(DH + CK = CD - HK = 8 - 4 = 4\). Do đó \(DH = CK = 2\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ADH\) ta có: \(A{H^2} = A{D^2} - D{H^2}\) \( \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\) \( \Leftrightarrow AH = 2\sqrt 3 \). Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\) \( = \dfrac{{\left( {4 + 8} \right).2\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 \).