Đặt $M^{}$ $=^{}$ $\frac{1}{2^{2}}$ $+^{}$ $\frac{1}{3^{2}}$ $+^{}$ $\frac{1}{4^{2}}$ $+^{}$$...^{}$$+^{}$ $\frac{1}{2009^{2}}$
$<^{}$ $\frac{1}{1.2}$ $+^{}$ $\frac{1}{2.3}$ $+^{}$ $\frac{1}{3.4}$ $+^{}$$...^{}$$+^{}$ $\frac{1}{2008.2009}$
$=^{}$ $1^{}$ $-^{}$ $\frac{1}{2}$ $+^{}$ $\frac{1}{2}$ $-^{}$ $\frac{1}{3}$ $+^{}$ $\frac{1}{3}$ $-^{}$ $\frac{1}{4}$ $+^{}$$...^{}$$+^{}$ $\frac{1}{2008}$ $-^{}$ $\frac{1}{2009}$
$=^{}$ $1^{}$ $-^{}$ $\frac{1}{2009}$
$=^{}$ $\frac{2008}{2009}$
⇒ M $<^{}$ $\frac{2008}{2009}$ $<^{}$ $\frac{2008}{2008}$ $=^{}$ $1^{}$
Vậy $\frac{1}{2^{2}}$ $+^{}$ $\frac{1}{3^{2}}$ $+^{}$ $\frac{1}{4^{2}}$ $+^{}$$...^{}$$+^{}$ $\frac{1}{2009^{2}}$ $<^{}$ $1^{}$
