Phương pháp giải: - Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa bất phương trình về dạng \(f\left( t \right) < m\). - Xét tính đơn điệu của hàm số \(f\left( t \right)\) và kết luận nghiệm \(t\) của bất phương trình. - Tử nghiệm \(t\) giải bất phương trình tìm nghiệm \(x\) sau đó tìm các giá trị \(x\) nguyên thỏa mãn. Giải chi tiết:ĐKXĐ: \({x^2} + 3x + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\). Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1\,\,\left( {t > 0} \right)\), bất phương trình trở thành \(\ln t + t - 1 < 0 \Leftrightarrow \ln t + t < 1\). Đặt \(f\left( t \right) = \ln t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{t} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Lại có \(f\left( 1 \right) = \ln 1 + 1 = 1\), do đó \(f\left( t \right) < 1 = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 < t < 1\). \( \Rightarrow 0 < {x^2} + 3x + 1 < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\ - 3 < x < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 3;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\). Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \emptyset \). Vậy bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Chọn A.