Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \(\dfrac{a}{b}\).A.\(\dfrac{1}{2}\)B.\(\dfrac{1}{6}\)C.\(\dfrac{1}{4}\)D.\(\dfrac{1}{3}\)

linhphi314

2 năm trước

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \(\dfrac{a}{b}\).
A.\(\dfrac{1}{2}\)
B.\(\dfrac{1}{6}\)
C.\(\dfrac{1}{4}\)
D.\(\dfrac{1}{3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 18 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Duonglieu113

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức \(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\), quy đồng.
- Phân tích \(\cos x = A\left( {\sin x + \cos x} \right) + B\left( {\cos x - \sin x} \right)\), sử dụng phương pháp đồng nhất tìm hệ số \(A,\,\,B\).
- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \(\int {dx} = x + C,\,\,\int {\dfrac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\).
Giải chi tiết:Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + c{\rm{os}}x}}dx} \).
Đặt \(\cos x = A\left( {\sin x + \cos x} \right) + B\left( {\cos x - \sin x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos x = \left( {A - B} \right)\sin x + \left( {A + B} \right)\cos x\)
Đồng nhất hệ số ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}A - B = 0\\A + B = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = \dfrac{1}{2}\\B = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx + } \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\left. x \right|_0^{\frac{\pi }{4}} + \dfrac{1}{2}\left. {\ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\I = \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\ln \sqrt 2 = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\ln 2\\ \Rightarrow a = \dfrac{1}{8},\,\,b = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{8}:\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) ; \(\left( {ABC} \right)\) là \(\alpha \). Tính \(\cos \alpha \) biết mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với cạnh \(AD\).
A.\(2 - \sqrt 3 \)
B.\(2\sqrt 3 - 3\)
C.\(3 - 2\sqrt 3 \)
D.\(\sqrt 2 - 1\)

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right) + {x^2} + 3x < 0\)
A.\(0\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(1\)

Từ nào bị dùng sai trong câu sau: “Chị Ngọc là người chính chắn, làm việc gì cũng rất chỉn chu.”

A.chính chắn
B.làm
C.chỉn chu
D.cả A và C

Cho hai điểm \(M\left( {3;1;1} \right);\)\(N\left( {4;3;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 9}}{1}\). Biết điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) sao cho \(IM + IN\) đạt giá trị nhỏ nhất. tính \(S = 2a + b + 3c\)
A.\(36\)
B.\(38\)
C.\(42\)
D.\(40\)

Chọn từ đúng dưới đây để điền vào chỗ trống “Ráng mỡ…, có nhà thì giữ”

A.heo
B.trâu
C.bò
D.gà

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x\) và \(f\left( 0 \right) = 2\). Tính\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
A.\(\dfrac{{148}}{{63}}\)
B.\(\dfrac{{146}}{{63}}\)
C.\(\dfrac{{149}}{{63}}\)
D.\(\dfrac{{145}}{{63}}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right].\)
A.\( - 4 < m \le - 3\)
B.\( - 4 \le m \le - 3\)
C.\(m = - 4\) hoặc \(m > - 3\)
D.\( - 4 \le m < - 3\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau.
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(F\left( x \right) = 3{f^4}\left( x \right) + 2{f^2}\left( x \right) + 5\)
A.\(6\)
B.\(3\)
C.\(5\)
D.\(7\)

Đâu không phải là biểu hiện của biến đổi khí hậu ở Việt Nam hiện nay?
A.Nhiệt độ trung bình năm tăng lên, mực nước biển dâng.
B.Hạn hán trong mùa khô xảy ra thường xuyên hơn.
C.Xuất hiện những đợt rét dị thường, gia tăng các cơn bão mạnh đến rất mạnh.
D.Gia tăng số trận động đất với cường độ mạnh hơn.

Cho hàm số \(y = \dfrac{{20 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 2m} }}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng.
A.
B.\(m \in \left( {6;8} \right)\)
C.\(m \in \left[ {12;16} \right)\)
D.\(m \in \left( {0;16} \right)\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến