Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;0;0} \right);\,\,N\left( {0;0;3} \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\le

nguyenbathuybh2001

2 năm trước

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;0;0} \right);\,\,N\left( {0;0;3} \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)
A.\(1\)
B.\(\dfrac{3}{2}\)
C.\(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
D.\(2\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

maivanhoang0163

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}
e 0} \right)\).
- Sử dụng công thức: \(\cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\).
- Vì \(MN \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 0\).
- Rút 2 trong 3 ẩn \(a,\,\,b,\,\,c\) theo ẩn còn lại, từ đó suy ra VTPT của \(\left( \alpha \right)\).
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và có VTPT \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình: \(a\left( {x - {x_M}} \right) + b\left( {y - {y_M}} \right) + c\left( {z - {z_M}} \right) = 0\).
- Khoảng cách từ điểm \(O\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( \alpha \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \(d\left( {O;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Giải chi tiết:Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}
e 0} \right)\).
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có VTPT \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\) một góc \({60^0}\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\cos {60^0} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 2a\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} = {b^2} + {c^2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Mặt khác \(MN \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 0\). Ta có \(\overrightarrow {MN} \left( { - 4;0;3} \right)\)
\( \Rightarrow - 4a + 3c = 0 \Rightarrow c = \dfrac{4}{3}a\)
Thay vào (1) ta có: \(3{a^2} = {b^2} + \dfrac{{16{a^2}}}{9} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{{11}}{9}{a^2} \Leftrightarrow b = \pm \dfrac{{a\sqrt {11} }}{3}\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow n \left( {a; \pm \dfrac{{a\sqrt {11} }}{3};\dfrac{4}{3}a} \right)\parallel \left( {3; \pm \sqrt {11} ;4} \right)\), do đó \(\overrightarrow {n'} = \left( {3; \pm \sqrt {11} ;4} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Do đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(3\left( {x - 4} \right) \pm \sqrt {11} \left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x \pm \sqrt {11} y + 4z - 12 = 0\)
Vậy \(d\left( {O;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.0 \pm \sqrt {11} .0 + 4.0 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 11 + 16} }} = 2\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tìm \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2};1;4} \right)\) đến đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2m + mt\\y = - 2 + 2m + \left( {1 - m} \right)t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)
Đạt giá trị lớn nhất.
A.\(m = \dfrac{2}{3}\)
B.\(m = \dfrac{4}{3}\)
C.\(m = \dfrac{1}{3}\)
D.\(m = 1\)

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \(\dfrac{a}{b}\).
A.\(\dfrac{1}{2}\)
B.\(\dfrac{1}{6}\)
C.\(\dfrac{1}{4}\)
D.\(\dfrac{1}{3}\)

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) ; \(\left( {ABC} \right)\) là \(\alpha \). Tính \(\cos \alpha \) biết mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với cạnh \(AD\).
A.\(2 - \sqrt 3 \)
B.\(2\sqrt 3 - 3\)
C.\(3 - 2\sqrt 3 \)
D.\(\sqrt 2 - 1\)

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right) + {x^2} + 3x < 0\)
A.\(0\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(1\)

Từ nào bị dùng sai trong câu sau: “Chị Ngọc là người chính chắn, làm việc gì cũng rất chỉn chu.”

A.chính chắn
B.làm
C.chỉn chu
D.cả A và C

Cho hai điểm \(M\left( {3;1;1} \right);\)\(N\left( {4;3;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 9}}{1}\). Biết điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) sao cho \(IM + IN\) đạt giá trị nhỏ nhất. tính \(S = 2a + b + 3c\)
A.\(36\)
B.\(38\)
C.\(42\)
D.\(40\)

Chọn từ đúng dưới đây để điền vào chỗ trống “Ráng mỡ…, có nhà thì giữ”

A.heo
B.trâu
C.bò
D.gà

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x\) và \(f\left( 0 \right) = 2\). Tính\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
A.\(\dfrac{{148}}{{63}}\)
B.\(\dfrac{{146}}{{63}}\)
C.\(\dfrac{{149}}{{63}}\)
D.\(\dfrac{{145}}{{63}}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right].\)
A.\( - 4 < m \le - 3\)
B.\( - 4 \le m \le - 3\)
C.\(m = - 4\) hoặc \(m > - 3\)
D.\( - 4 \le m < - 3\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau.
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(F\left( x \right) = 3{f^4}\left( x \right) + 2{f^2}\left( x \right) + 5\)
A.\(6\)
B.\(3\)
C.\(5\)
D.\(7\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến