a) Do $HM\bot AB, HN\bot AC$ nên $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o$
Tứ giác $AMHN$ có: $\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau
$\Rightarrow AMHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$
b) Xét $\Delta AHB\bot H$ có đường cao $MH\Rightarrow AH^2=AM.AB$
Xét $\Delta AHC\bot H$ có đường cao $HN\Rightarrow AH^2=AN.AC$ (*)
Từ hai điều trên suy ra $AM.AB=AN.AC$
c) Dựng $Ax$ là tiếp tuyến của (O) $\Rightarrow Ax\bot AE$ (1)
$\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (2)
$\widehat{ACB}=\widehat{AHN}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$) (3)
$\widehat{AHN}=\widehat{AMN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AN$ của (AH)) (4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra $\widehat{xAB}=\widehat{AMN}$ mà chúng ở vị trí so le trong
$\Rightarrow Ax//MN$ (5)
Từ (1) và (5) suy ra $MN\bot AE$
d) Xét $\Delta AKE\bot K$ có $KI$ là đường cao nên $AK^2=AI.AE$ (6)
Xét $\Delta AIN$ và $ACE$ có:
$\widehat A$ chung
$\widehat{AIN}=\widehat{ACE}=90^o$
$\Rightarrow\Delta AIN\sim\Delta ACE$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AN}{AE}$
$\Rightarrow AI.AE=AN.AC=AH^2$ (theo (*)) (7)
Từ (6) và (7) suy ra $AK=AH$.
