13.
a) Xét ΔABC:
AD là tia phân giác của góc BAC (gt)
⇒ AB/AC = BD/CD (t/c)
⇒ BD/CD = 14/10 = 7/5
Mà BD + CD = BC = 12 cm
⇒ BD = 7 cm
CD = 5 cm
Vậy BD = 7 cm, CD = 5 cm.
b) Kẻ đường cao AH của ΔABC
SΔABD = AH . BD : 2
SΔACD = AH . DC : 2
⇒ SΔABD / SΔACD = BD/CD = 7/5
Vậy SΔABD / SΔACD = 7/5
14.
Xét ΔABC:
BD là tia phân giác góc ABC (gt)
⇒ AB/BC = AD/CD (t/c)
⇒ AD/CD = 2/7
Mà DC - DA = 1 cm
⇒ AD = 0,4 cm
CD = 1,4 cm
⇒ AC = 1,8 cm
Vậy AC = 1,8 cm.
15.
Xét ΔABC:
AD là tia phân giác góc BAC (gt)
⇒ AB/AC = BD/CD (t/c)
⇒ AB/10 = 7,5/5
⇒ AB = 15 cm
Xét ΔABC:
DE // AB (gt)
⇒ CE/AC = CD/BC = DE/AB (Hq ĐL Thales Δ)
⇒ CE/10 = DE/15 = 5/5+7,5 = 5/12,5
⇒ CE = 6,25 cm; DE = 6 cm
⇒ AE = 10 - 6,25 = 3,75 cm
Vậy AE = 3,75 cm; CE = 6,25 cm; DE = 6 cm.
16.
Xét Δ ABC:
AD là tia phân giác của góc BAC (gt)
⇒ AB/AC = BD/DC (t/c)
⇒ BD/DC = 6/9 = 2/3
Mà BD + DC = BC = 7,5 cm
⇒ BD = 3 cm
Xét Δ ABC:
AE là tia phân giác ngoài của góc A (gt)
⇒ EB/EC = AB/AC (t/c)
⇒ EB/EC = 6/9 = 2/3
Mà EC - EB = BC = 7,5
⇒ EB = 15 cm; EC = 22,5 cm
Vậy BD = 3 cm; EB = 15 cm; EC = 22,5 cm.
17.
a) Xét ΔAMB:
MD là tia phân giác của góc AMB (gt)
⇒ AM/MB = AD/BD (t/c) (1)
Xét ΔAMC:
ME là tia phân giác của góc AMC (gt)
⇒ AM/MC = AE/EC (2)
(1), (2): AD/BD = AE/EC
⇒ DE = BC (ĐL Thales đảo Δ)
b) AM là trung tuyến ΔABC (gt)
⇒ M là trung điểm BC
⇒ MB = MC
Xét ΔABM:
DI // BM (cmt)
⇒ AD/AB = AI/AM = DI/BM (Hq ĐL Thales Δ) (3)
Xét Δ AMC:
EI // MC (cmt)
⇒ AI/AM = AE/AC = EI/MC (Hq ĐL Thales Δ) (4)
(3), (4): DI/BM = EI/MC
Mà MB = MC (cmt)
⇒ DI = EI
⇒ I là trung điểm DE
18.
Xét ΔABC (góc BAC = 90o):
AB² + AC² = BC² (ĐL Pythagoras)
⇒ 20² + 21² = BC²
⇒ BC = 29 cm
Vậy BC = 29 cm.
b) Xét ΔABC:
AD là tia phân giác góc BAC (gt)
⇒ AB/AC = BD/DC (t/c)
⇒ BD/DC = 20/21
Mà BD + DC = BC = 29 cm
⇒ BD = 580/41 cm; DC = 609/41 cm
c) Xét tứ giác AEDF:
DE // AF (gt)
AE // DF (gt)
⇒ AEDF là hình bình hành (t/c)
Mà góc EAF = 90o (gt)
⇒ AEDF là hình chữ nhật (t/c)
Xét Δ ABC:
DE // AC (gt)
⇒ BE/BA = BD/BC = ED/AC (Hq ĐL Thales Δ)
⇒ DE/21 = 580/41 / 29
⇒ DE = 16820/861 cm
Xét Δ ABC:
DF // AB (gt)
⇒ CD/CB = CF/CA = DF/AB (Hq ĐL Thales Δ)
⇒ DF/20 = 609/41 / 29
⇒ DF = 17661/820 cm
⇒ S hình chữ nhật AEDF = 16820/861 . 17661/820 = 707281/1681 cm²
