Bài 4:
a) Xét $ΔBAM$ và $ΔCDM$ có:
$BM = CM \, (gt)$
$AM = DM \, (gt)$
$\widehat{AMB} = \widehat{CMD}$ (đối đỉnh)
Do đó $ΔBAM = ΔCDM \, (c.g.c)$
b) Xét $ΔAMC$ và $ΔBMD$ có:
$BM = CM \, (gt)$
$AM = DM \, (gt)$
$\widehat{AMC} = \widehat{BMD}$ (đối đỉnh)
Do đó $ΔAMC = ΔBMD \, (c.g.c)$
$\Rightarrow AC = BD$ (hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác $ABDC$ có:
$AC = BD \, (cmt)$
$AB = CD \, (ΔBAM = ΔCDM)$
Do đó $ABDC$ là hình bình hành
$\Rightarrow AC//BD$
c) Xét $ΔABQ$ và $ΔAPC$ có:
$AB = AP \, (gt)$
$AC = AQ \, (gt)$
$\widehat{BAQ} = \widehat{CAP} \, (=90^o + \widehat{ABC})$
Do đó $ΔABQ = ΔAPC \, (c.g.c)$
d) Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $A$
$\Rightarrow AB = AE$
mà $MB = MC \, (gt)$
$\Rightarrow AM$ là đường trung bình trong $ΔEBC$
$\Rightarrow AM//EC$
$\Rightarrow \widehat{ECA} = \widehat{CAM}$ (so le trong) $(1)$
Xét $ΔPAQ$ và $ΔEAC$ có:
$AP = AE \, (=AB)$
$AQ = AC \, (gt)$
$\widehat{PAQ} = \widehat{CAE} \, (=90^o + \widehat{EAQ})$
Do đó $ΔPAQ = ΔEAC \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AQP} = \widehat{ECA}$ (hai góc tương ứng) $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow \widehat{CAM} = \widehat{AQP}$
Ta lại có: $\widehat{KAQ} + \widehat{CAM} = 180^o - \widehat{CAQ} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{KAQ} + \widehat{AQP} = 90^o$
Do đó $AK\perp QP$
(Hình đính kèm)
Bài 5:
a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
$\dfrac{a+b-3c}{c} = \dfrac{b+c-3a}{a} = \dfrac{c+a-3b}{b}$
$=\dfrac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{a+b+c} = \dfrac{-a-b-c}{a+b+c} = -1$
$\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{a+b-3c}{c}=-1\\\dfrac{b+c-3a}{a} = -1\\\dfrac{c+a-3b}{b} = -1\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a + b = 2c\\b+c = 2a\\c+a=2b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a - c = 2(c - a)\\c+a = 2b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3(a - c) = 0\\c+a = 2b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a - c = 0\\c+a = 2b\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a = c\\2a= 2b\end{cases}$
$\Leftrightarrow a = b = c$
b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
$\dfrac{a}{2016} = \dfrac{b}{2017} = \dfrac{c}{2018}$
$=\dfrac{a - b}{-1} = \dfrac{b-c}{-1} = \dfrac{c-a}{2}$
Thay vào $M$, ta được:
$M = 4(a-b)(b-c) - (c-a)^2$
$=4.\dfrac{(a-b)}{-1}.\dfrac{(b-c)}{-1} - (c-a)^2$
$= 4.\dfrac{(c-a)}{2}.\dfrac{(c-a)}{2} - (c-a)^2$
$= (c-a)^2 - (c-a)^2 = 0$
