Đáp án:
\[{P_{\min }} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si và Bunhia - Copski ta có:
\(\begin{array}{l}
P = x + y + \frac{1}{{2x}} + \frac{2}{y}\\
\frac{1}{{2x}} + \frac{2}{y} = \frac{1}{{2x}} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{2x + y + y}} = \frac{9}{{2\left( {x + y} \right)}}\\
\Rightarrow P \ge x + y + \frac{9}{{2\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x + y}}{2} + \left( {\frac{{x + y}}{2} + \frac{9}{{2\left( {x + y} \right)}}} \right)\\
\ge \frac{3}{2} + 2.\sqrt {\frac{{x + y}}{2}.\frac{9}{{2.\left( {x + y} \right)}}} \\
= \frac{3}{2} + 2.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}\\
\Rightarrow {P_{\min }} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3\\
2x = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
