Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), tìm tọa độ điểm \(I\). Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| = 3MI\).
- Gọi \(C'\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(\left( {Oxy} \right)\), tìm tọa độ điểm \(C'\).
- Sử dụng BĐT \(\left| {MI - MC'} \right| \le IC'\), tìm GTLN của \(S\).
Giải chi tiết:
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) ta có:
\(\overrightarrow {IA} = \left( {9 - a; - b; - c} \right);\,\,\overrightarrow {IB} = \left( { - a;6 - b;6 - c} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - a - 2a = 0\\ - b + 12 - 2b = 0\\ - c + 12 - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\\c = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {3;4;4} \right)\).
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right) = 3\overrightarrow {MI} \end{array}\)
\( \Rightarrow S = \left| {\left| {3\overrightarrow {MI} } \right| - 3MC} \right| = 3\left| {MI - MC} \right|\).
Dễ dàng nhận thấy \(I,\,\,C\) nằm khác phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(C'\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) thì \(C'\left( {0;0;16} \right)\).
Theo tính chất đối xứng có \(MC = MC'\).
\( \Rightarrow \left| {MI - MC} \right| = \left| {MI - MC'} \right| \le IC'\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M,\,\,I,\,\,C'\) thẳng hàng.
Khi đó \({S_{\max }} = 3IC' = 3\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{12}^2}} = 39\).
Chọn A.
