c) $\Delta ABD,\Delta ACE\bot A\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{EAC}=90^o$
$\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}$
$\widehat{BAE}=\widehat{EAC}+\widehat{BAC}$
$\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BAE}$ (cùng bằng $90^o+\widehat{BAC}$)
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADC$ có:
$AB=AD$ (do $\Delta ABD$ vuông cân đỉnh A)
$\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$ (chứng minh trên)
$AE=AC$ (do $\Delta ACE$ cân đỉnh A)
$\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ADC$ (c.g.c)
$\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (hai góc tương ứng) (1)
$\Rightarrow BE=DC$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)
+) Gọi $DC$ cắt $BE$ tại $I$
và gọi $AB$ cắt $DC$ tại $J$
Ta có: $\widehat{DIE}=\widehat{IBJ}+\widehat{IJB}$ (góc ngoài $\Delta IJB$)
$=\widehat{B_1}+\widehat{J_2}$ sử dụng (1) và $\widehat{J_2}=\widehat{J_1}$ (đối đỉnh)
$=\widehat{D_1}+\widehat{J_1}$
$=90^o$ (do $\Delta ADJ\bot A$)
$\Rightarrow\widehat{DIE}=90^o\Rightarrow DI\bot IE$ hay $DC\bot BE$ (đpcm)
d) Kẻ $DM\bot AH$ và $EN\bot AH$ và gọi $AH$ cắt $DE$ tại $O$
Xét hai tam giác vuông $\Delta MAD$ và $\Delta HBA$ có:
$AD=AB$ (do $\Delta ABD$ cân đỉnh A)
$\widehat{MAD}=\widehat{HBA}$ (cùng phụ với $\widehat{HAB}$)
$\Rightarrow\Delta MAD=\Delta HBA$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow DM=AH$ (hai cạnh tương ứng) (2)
Chứng minh tương tự $\Delta NAE=\Delta HCA$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow EN=AH$ (hai cạnh tương ứng) (3)
Từ (2) và (3) suy ra $DM=EN$
Xét hai tam giác vuông $\Delta MOD$ và $NOE$ có:
$DM=EN$ (chứng minh trên)
$\widehat{MOD}=\widehat{NOE}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow\Delta MOD=\Delta NOE$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)
$\Rightarrow DO=EO\Rightarrow O$ là trung điểm của DE
AH cắt DE tại O (cách dựng)
Vậy $AH$ đi qua trung điểm của DE (đpcm).
