Đề bài của bạn bị nhầm. Nếu đúng như dấu bằng xảy ra thì phải là CMR
\(3(a^3+b^3+c^3)\geq a^2+b^2+c^2\)
Lời giải:
Bổ đề: Với $a,b>0$ thì \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\).
BĐT này đúng vì tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq0\)
Do đó, thực hiện tương tự với bộ \((b^3,c^3),(c^3,a^3)\) ta có:
\(2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(1)\)
Ta có:
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq a^3+b^3+c^3+2(a^3+b^3+c^3)=3(a^3+b^3+c^3)\)
Vì $a+b+c=1$ nên điều trên tương đương với \(3(a^3+b^3+c^3)\geq a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
