Ta cần chứng minh : na1+a2+...+an≥na1.a2...an với n∈N*
Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là 2a1+a2≥a1a2 (1)
Giả sử bđt đúng với n = k , tức là ka1+a2+...+ak≥ka1.a2...ak với k>2
Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1
Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1
thì : ak+1≥ka1+a2+...+ak . Lại đặt ka1+a2+...+ak=x,x≥0
⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)
Ta có : (k+1a1+a2+...+ak+1)k+1=(k+1kx+x+y)k+1=(k+1x(k+1)+y)k+1=(x+k+1y)k+1
≥xk+1+(k+1).k+1y.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1
Suy ra (k+1a1+a2+...+ak+1)k+1≥k+1a1.a2...ak+1
Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
