cho 3 số thực dương z;y;z thỏa mãn x+y+z

tìm GTNN của biểu thức :

\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)

Chứng minh BĐT cauchy với pp quy nạp

cho a;b;c là các số thực khôn âm có a+b+c=1.c/m rằng:

2(a^3+b^3+c^3)>hoặc = a^2+b^2+c^2

A=1.2.3+3.4.5+5.6.7+...+99.100.101

B=1.2^2+2.3^2+3.4^2+4.5^2+...+99.101^2

cho a>=1/2 và a/b>1 . chứng minh (2a3 + 1)/(4b(a-b))>=3

Áp dụng BĐT Bunhia

1. Chứng minh các BĐT sau

a. \(3a^2+4b^2\ge7,với3a+4b=7\)

b. \(3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47},với2a-3a=7\)

c. \(7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137},với3a-5b=8\)

d. \(a^2+b^2\ge\frac{4}{5},vớia+2b=2\)

2. Chứng minh các BĐT sau

a. \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2},vớia+b\ge1\)

b. \(a^3+b^3\ge\frac{1}{4},vớia+b\ge1\)

c.\(a^4+b^4\ge\frac{1}{8},vớia+b=1\)

d. \(a^4+b^4\ge2,vớia+b=2\)

Áp dụng BĐT Cô-si để tìm Max

a. \(y=\left(x+3\right)\left(5-x\right),\left(-3\le x\le5\right)\)

b. \(y=x\left(6-x\right)\left(0\le x\le6\right)\)

c. \(y=\left(x+3\right)\left(5-2x\right)\left(-3\le x\le\frac{5}{2}\right)\)

d. \(y=\left(2x+5\right)\left(5-2x\right)\left(-\frac{5}{2}\le x\le5\right)\)

e. \(y=\left(6x+3\right)\left(5-2x\right)\left(-\frac{1}{2}\le x\le\frac{5}{2}\right)\)

f. \(y=\frac{x}{x^2+2},x\ge0\)

g. \(y=\frac{x^2}{\left(x^2+2\right)^3}\)

Áp dụng BĐT Cô-si

Cho a,b,c\(\ge0\). Chứng minh các BĐT sau

a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

b. \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c,vớia,b,c\ge0\)

1. Ap dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của các biểu thức sau

a. \(y=\frac{x}{2}+\frac{18}{x},x\ge0\)

b.\(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1},x\ge1\)

c.\(y=\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1},x\ge-1\)

d. \(y=\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1},x\ge\frac{1}{2}\)

e. y \(=\frac{x}{1-x}+\frac{5}{x},0\le x\le1\)

f. \(y=\frac{x^3+1}{x^2},x\ge0\)

g. \(y=\frac{x^2+4x+4}{x},x\ge0\)

1. Cho a,b \(\ge\) 0. Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}\left(1\right)\). Áp dụng chứng minh các BĐT sau

a. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\left(a,b,c\ge0\right)\)

b. \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)