Lời giải:
Ta thấy x3+y3+z3≤9
⇔(x+y+z)3−3(x+y)(y+z)(z+x)≤9
⇔27−3[(x+y+z)(xy+yz+xz)−xyz]≤9
⇔3(xy+yz+xz)−xyz≥6(⋆)
Vì x,y,z∈[0;2]⇒(x−2)(y−2)(z−2)≤0
⇔xyz+4≤2(xy+yz+xz)
Mặt khác xyz≥0→2(xy+yz+xz)≥4→xy+yz+xz≥2
Do đó 3(xy+yz+xz)−xyz≥2+4+xyz−xyz=6
Từ đó BĐT (⋆) hay ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi (x,y,z)=(2,1,0) và các hoán vị.
