$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}+\frac{1}{128}-\frac{1}{256}$ $=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}-\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{64}-\frac{1}{128}-\frac{1}{128}+\frac{1}{256}$ $=[1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}]+\frac{1}{4}+[\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}]+\frac{1}{16}+[\frac{1}{16}-\frac{1}{32}-\frac{1}{32}]+\frac{1}{64}+[\frac{1}{64}-\frac{1}{128}-\frac{1}{128}]+\frac{1}{256}$ $=0+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{16}+0+\frac{1}{64}+0+\frac{1}{256}$ $=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}$ Mẫu số chung là $256$,ta có: $=\frac{64}{256}+\frac{16}{256}+\frac{4}{256}+\frac{1}{256}$ $=\frac{85}{256}$ Lại có:mẫu số chung là $768$ $\frac{85}{256}=\frac{255}{768}$ $\frac{1}{3}=\frac{256}{768}$ Mà $255<256$ $=>\frac{85}{256}<\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}+\frac{1}{128}-\frac{1}{256}<\frac{1}{3}(đpcm)$
