a) Để $(D)$ đi qua $A(1,1)$ thì
$1 = 2(m-2).1 -m + 3$
$<-> m = 2$
Vậy $m = 2$
b) Xét ptrinh hoành độ giao điểm
$x^2 = 2(m-2)x - m + 3$
$<-> x^2 - 2(m-2)x + m-3 = 0$
Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì ptrinh trên phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $\Delta' > 0$, suy ra
$(m-2)^2 - (m-3) > 0$
$<-> m^2 -5m+7 > 0$
Điều này đúng với mọi $m$.
GỌi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ của 2 giao điểm, khi đó ta có
$x_1(1 - x_2) + x_2(1 - x_1) = 3$
$<-> x_1 + x_2 - 2x_1 x_2=3$
Áp dụng Viet ta có đẳng thức trên trở thành
$2(m-2) - (m-3) = 0$
$<-> m = 1$
Vậy $m = 1$.