Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Tính \(g'\left( x \right)\), đưa về dạng tích và giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
- Trong \(g'\left( x \right) = 0\) có 1 nhân tử khá cồng kềnh, nhận xét trên \(\left[ {1;3} \right]\) thì nhân tử đó vô nghiệm, từ đó suy ra nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
- Lập BBT hoặc phán đoán nhanh để xác định \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right)\).Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {4 - 2x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + {x^2} - 6x + 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2\left( {x - 2} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left[ { - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4} \right]\end{array}\).
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\ - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 = 0\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(h\left( x \right) = 4x - {x^2}\) với \(x \in \left[ {1;3} \right]\) ta có \(h'\left( x \right) = 4 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
\(h\left( 2 \right) = 4;\,\,h\left( 1 \right) = 3;\,\,h\left( 3 \right) = 3\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} h\left( x \right) = 3\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} h\left( x \right) = 4\end{array} \right. \Rightarrow h\left( x \right) \in \left[ {3;4} \right]\) khi \(x \in \left[ {1;3} \right]\).
Dựa vào BBT ta thấy với \(4x - {x^2} \in \left[ {3;4} \right]\) thì \(f'\left( {4x - {x^2}} \right) > 0 \Rightarrow - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) < 0\).
Lại có \(x - 4 < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\), do đó \( - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\).
Suy ra \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Vậy \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) + 5 = 5 + 5 = 10\).
Chọn A.
