Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Từ giả thiết tìm \(x + y,\,\,{x^2} + {y^2}\) theo \(z\).
- Tìm \(xy = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]\).
- Sử dụng hằng đẳng thức \({x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)\), thay VP theo \(z\).
- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính \(a + b\).Giải chi tiết:Theo bài ra ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\log \left( {x + y} \right) = z\\\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {10^z}\\{x^2} + {y^2} = {10^{z + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {10^{2z}}\\{x^2} + {y^2} = {10^{z + 1}}\end{array} \right.\)
Trừ vế theo vế hai phương trình ta được:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {10^{2z}} - {10^{z + 1}}\\ \Leftrightarrow 2xy = {10^{2z}} - {10^{z + 1}} \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{{10}^{2z}} - {{10}^{z + 1}}}}{2}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {10^z}\left( {{{10}^{z + 1}} - \dfrac{{{{10}^{2z}} - {{10}^{z + 1}}}}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {10^z}\left( {\dfrac{3}{2}{{10}^{z + 1}} - \dfrac{1}{2}{{10}^{2z}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{3}{2}{10^{2z + 1}} - \dfrac{1}{2}{10^{3z}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{2}{10^{3z}} + {15.10^{2z}}\\ \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2};\,\,b = 15\end{array}\)
Vậy \(a + b = - \dfrac{1}{2} + 15 = \dfrac{{29}}{2}\).
Chọn B.
