Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Từ \(f'\left( x \right)\) suy ra các nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), chú ý nghiệm bội chẵn, bội lẻ.
- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\).
- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) xác định các nghiệm bội lẻ.Giải chi tiết:Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,2} \right)\\x = 3\,\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\end{array}\)
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x + 6 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\) (đều là các nghiệm đơn)
(Ta không xét \(\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = - 1\) vì \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu qua \(x = - 1\) nên nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = - 1\) không làm cho \(g'\left( x \right)\) đổi dấu).
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Chọn C.
