Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Rút \(x\) từ PT (2) thế vào (1). Biện luận hệ số gắn với \(y\) để tìm điều kiện có nghiệm của hệ, tìm \(x,y\) của trường hợp đó theo \(a\) rồi biện luận \(a\) để \(x,y\) nguyên.Giải chi tiết:Từ phương trình (2) ta có: \(x = {a^2} + 4a - ay\)
Thế vào phương trình (1) được
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 4a - ay} \right) - ay = 5\\ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 4a} \right) - a\left( {a + 1} \right)y - ay = 5\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 2a} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\\ \Leftrightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
+ Nếu \(a = 0\) hoặc \(a = - 2\) thì (*) vô nghiệm.
+ Nếu \(a \ne 0\) và \(a \ne - 2\) thì: \(y = \dfrac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = {a^2} + 4a - ay\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 4a - \dfrac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^3} + 6{a^2} + 8a - {a^3} - 5{a^2} - 4a + 5}}{{a + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}} = \dfrac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \dfrac{1}{{a + 2}}\end{array}\)
Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 2\) là ước của 1 \( \Rightarrow a + 2 = \pm 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3\\a = - 1\end{array} \right.\).
Với \(a = - 3 \Rightarrow y = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3\left( { - 3 + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \Rightarrow \) Loại.
Với \(a = - 1 \Rightarrow y = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn).
Vậy với \(a = - 1\) hệ có nghiệm nguyên là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;5} \right)\).
Chọn B.
