Đáp án:
\[\frac{{35}}{8}{x^4}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^n}\\
= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{{\left( {{x^3}} \right)}^{n - k}}.\frac{1}{{{{\left( {2{x^2}} \right)}^k}}}} \\
= \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{{2^k}}}.{x^{3n - 5k}}} \\
\Rightarrow {a_0} = \frac{{C_n^0}}{{{2^0}}} = 1;\,\,\,\,\,{a_1} = \frac{{C_n^1}}{2};\,\,\,\,\,{a_2} = \frac{{C_n^2}}{{{2^4}}}
\end{array}\)
Do \({a_0};\,\,{a_1};\,\,{a_2}\) lập thành một CSC nên ta có:
\(\begin{array}{l}
2{a_1} = {a_0} + {a_2}\\
\Leftrightarrow 2.\frac{{C_n^1}}{2} = 1 + \frac{{C_n^2}}{4}\\
\Leftrightarrow 4.C_n^1 = 4 + C_n^2\\
\Leftrightarrow 4.n = 4 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow 8n = 8 + {n^2} - n\\
\Leftrightarrow {n^2} - 9n + 8 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 8\\
n = 1\left( L \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 8
\end{array}\)
Do đó, \(P = \sum\limits_{k = 0}^8 {\frac{{C_8^k}}{{{2^k}}}.{x^{24 - 5k}}} \)
Suy ra số hạng có chứa \({x^4}\) là: \(\frac{{C_8^4.{x^{24 - 20}}}}{{{2^4}}} = \frac{{35}}{8}{x^4}\)
