Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + x + \frac{1}{x} - 2m = 0\) A.\(m \ge 0\) B.\(m \ge 2\) C.m< -1/4 D.m > 6
Đáp án đúng: A Phương pháp giải: Đặt \(x + \frac{1}{x} = t\) và biểu diễn phương trình theo \(t\) và áp dụng đồ thị hàm số biện luận mGiải chi tiết:\({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + x + \frac{1}{x} - 2m = 0\) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) Đặt \(x + \frac{1}{x} = t \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2\) TH1: Với \(x > 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} \ge 2\,\,\left( {theo\,\,Cauchy} \right)\) TH2: Với \(x < 0 \Rightarrow - x - \frac{1}{x} \ge 2\,\,\,\left( {Cauchy} \right)\)\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} \le - 2\) Vì vậy \(t \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) \(\begin{array}{l}{t^2} - 2 + t - 2m = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + t = 2m + 2\end{array}\) Vẽ bảng biến thiên của hàm số \(y = {t^2} + t\) với \(t \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 0\) Vậy \(m \ge 0\) phương trình có nghiệm.