Cho phương trình \({x^4} - 2\left( {m - 2} \right){x^2} + 2m - 6 = 0\). Tìm các giá trị của \(m\) sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt. A.\(m > 3\) B.\(m <2\) C.\(m \ge 3\) D.\(2 \le m < 3\)
Đáp án đúng: A Phương pháp giải: - Đặt ẩn phụ \(t,\) đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\). - Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn \(t\) phải có 2 nghiệm dương phân biệt. - Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương là: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\).Giải chi tiết:Đặt \({x^2} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 2\left( {m - 2} \right)t + 2m - 6 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {2m - 6} \right) = {m^2} - 6m + 10 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\), do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\). Ứng với mỗi nghiệm \(t > 0\) thì cho 2 nghiệm \(x\) phân biệt. Do đó, phương trình \({x^4} - 2\left( {m - 2} \right){x^2} + 2m - 6 = 0\) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương. \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 2\left( {m - 2} \right) > 0\\S = 2m - 6 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\). Vậy \(m > 3\) thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.