Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Thay \(xy + yz + zx = 5\) vào biểu thức \({x^2} + 5\) sau đó phân tích thành nhân tử.
Làm tương tự đối với \({y^2} + 5\), \({z^2} + 5\). Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si.Giải chi tiết:Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + z > 0\\y + z > 0\end{array} \right.\)
\({x^2} + 5 = {x^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)\( = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)
\({y^2} + 5 = {y^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{y^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)\( = y\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\)
\({z^2} + 5 = {z^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{z^2} + xz} \right) + \left( {yz + xy} \right)\)\( = z\left( {x + z} \right) + y\left( {x + z} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\)
Khi đó, ta có: \(P = \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {x + z} \right)} \)\( \le \left( {\dfrac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + z} \right)}}{2}} \right)\) \( = \dfrac{{3x + 3y + 2x + 2z}}{2}\)\( = \dfrac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {y + z} \right)} \)\( \le \left( {\dfrac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {y + z} \right)}}{2}} \right)\)\( = \dfrac{{3x + 3y + 2y + 2z}}{2}\)\( = \dfrac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)
\(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}  = \sqrt {\left( {x + z} \right).\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}}{2}\)\( = \dfrac{{x + y + 2z}}{2}\)
\( \Rightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)\( + \dfrac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)\( + \dfrac{{x + y + 2z}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{9x + 9y + 6z}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( \le \dfrac{{3.\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}{{\left( {3x + 3y + 2z} \right)}} \le \dfrac{3}{2}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }} \ge \dfrac{2}{3}\)
\( \Leftrightarrow P \ge \dfrac{2}{3}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\3\left( {x + z} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\x + z = y + z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(Min\,P = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).
Chọn B.