Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = {2^{{x^2} + 4{y^2}}}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\), đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm \(t\).
- Tìm mối quan hệ giữa \(x,\,\,y\) dạng \({\left( {ax} \right)^2} + {\left( {by} \right)^2} = 1\).
- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}ax = \sin \alpha \\by = \cos \alpha \end{array} \right.\), thế vào biểu thức \(P\).
- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng \(A\sin \alpha  + B\cos \alpha  = C\). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định \(M,\,\,m\).Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^{{x^2} + 4{y^2}}} - {2^{{x^2} + 4{y^2} + 1}} = {2^{3 - {x^2} - 4{y^2}}} - {4^{2 - {x^2} - 4{y^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^{{x^2} + 4{y^2}}}} \right)^2} - {2.2^{{x^2} + 4{y^2}}} = \dfrac{8}{{{2^{{x^2} + 4{y^2}}}}} - \dfrac{{16}}{{{{\left( {{2^{{x^2} + 4{y^2}}}} \right)}^2}}}\end{array}\)
Đặt \(t = {2^{{x^2} + 4{y^2}}}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\), phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}{t^2} - 2t = \dfrac{8}{t} - \dfrac{{16}}{{{t^2}}}\\ \Leftrightarrow {t^2} - 2t = \dfrac{{8t - 16}}{{{t^2}}}\\ \Rightarrow {t^3}\left( {t - 2} \right) = 8\left( {t - 2} \right)\\ \Rightarrow \left( {{t^3} - 8} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2}\left( {{t^2} + 2t + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t = 2\,\,\left( {tm} \right)\,\,\left( {do\,\,{t^2} + 2t + 4 > 0\,\,\forall t} \right)\end{array}\)
Với \({2^{{x^2} + 4{y^2}}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} = 1\). Khi đó tồn tại \(\alpha \) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sin \alpha \\2y = \cos \alpha \end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x - 2y - 1}}{{x + y + 4}} = \dfrac{{\sin \alpha  - \cos \alpha  - 1}}{{\sin \alpha  + \dfrac{1}{2}\cos \alpha  + 4}}\\ \Leftrightarrow P\sin \alpha  + \dfrac{1}{2}P\cos \alpha  + 4P = \sin \alpha  - \cos \alpha  - 1\\ \Leftrightarrow \left( {P - 1} \right)\sin \alpha  + \left( {\dfrac{1}{2}P + 1} \right)\cos \alpha  =  - 1 - 4P\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để \(P\) tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {P - 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{2}P + 1} \right)^2} \ge {\left( { - 1 - 4P} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {P^2} - 2P + 1 + \dfrac{1}{4}{P^2} + P + 1 \ge 16{P^2} + 8P + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{59}}{4}{P^2} + 9P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 18 - 4\sqrt {35} }}{{59}} \le P \le \dfrac{{ - 18 + 4\sqrt {35} }}{{59}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \dfrac{{ - 18 + 4\sqrt {35} }}{{59}}\\m = \dfrac{{ - 18 - 4\sqrt {35} }}{{59}}\end{array} \right. \Rightarrow M + m =  - \dfrac{{36}}{{59}}\end{array}\)
Chọn A.