Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Giả sử \(\left( {{d_1}} \right):y = ax + b\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = a'x + b'\). Khi đó \(\left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b \ne b'}\end{array}} \right.\).
Lấy điểm \(A \in \left( {{d_m}} \right)\) và điểm \(C \in \left( d \right)\). Gọi \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( d \right)\).
Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và \(\left( d \right)\) chính là độ dài đoạn thẳng \(AB\).Giải chi tiết:Ta có: \(\left( {{d_m}} \right)//\left( d \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 3 = 1\\{m^2} + m \ne 6\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 = 0\\{m^2} + m - 6 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\\left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right) \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)
Với \(m = 1\) thì đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) có dạng: \(y = x + 2\).
Ta có đồ thị hàm số \(\left( d \right):\,\,\,y = x + 6\) và \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y = x + 2\) như hình vẽ sau:
+) Vẽ đồ thị hàm số: \(\left( d \right):\,\,\,y = x + 6\)
Đồ thị hàm số \(\left( d \right):\,\,\,y = x + 6\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;\,\,6} \right)\) và \(B\left( { - 6;\,\,0} \right).\)
+) Vẽ đồ thị hàm số: \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y = x + 2\)
Đồ thị hàm số \(\left( d \right):\,\,\,y = x + 6\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(D\left( { - 2;\,\,0} \right).\)
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(d:\,\,\,y = x + 6.\)
\( \Rightarrow HD \bot d \Rightarrow HD = d\left( {d;\,\,{d_1}} \right).\)
Ta có: \(A\left( {0;\,\,6} \right),\,\,B\left( { - 6;\,\,0} \right)\) \( \Rightarrow OA = OB = 6\)
\( \Rightarrow \Delta AOB\) vuông cân tại \(O\) \( \Rightarrow \angle OBA = {45^0}\)
\( \Rightarrow \Delta BHD\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow BH = HD.\)
Lại có: \(BD = 4.\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta BHD\) vuông tại \(H\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,B{D^2} = B{H^2} + H{D^2}\\ \Leftrightarrow {4^2} = 2H{D^2}\\ \Leftrightarrow H{D^2} = 8\\ \Leftrightarrow HD = 2\sqrt 2 \,\,\left( {dvdd} \right).\end{array}\)
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và \(\left( d \right)\) khi chúng song song với nhau là \(2\sqrt 2 \) (đvđd).
Chọn D.
