Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.Giải chi tiết:+) Tìm \(Max\,\,P\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(P = \sqrt {a + {b^2}}  + \sqrt {b + {c^2}}  + \sqrt {c + {a^2}} \)\( = 1.\sqrt {a + {b^2}}  + 1.\sqrt {b + {c^2}}  + 1.\sqrt {c + {a^2}} \)
\( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {a + {b^2} + b + {c^2} + c + {a^2}} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \) \( = \sqrt {3\left( {1 + a + b + c} \right)} \)
Tương tự ta có:
\({\left( {1.a + 1.b + 1.c} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)\( = 3.1 = 3\).
\( \Rightarrow a + b + c \le \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {3\left( {1 + a + b + c} \right)}  \le \sqrt {3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \\ \Rightarrow P \le \sqrt {3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \end{array}\)
\( \Rightarrow Max\,\,P = \sqrt {3 + 3\sqrt 3 } \)
Dấu “=” xảy xa \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \(Max\,\,P = \sqrt {3 + \sqrt 3 } \) khi \(a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
+) Tìm \(Min\,\,P:\)
Do đề bài cho \(a,\,\,b,\,\,c\)  là các số thực không âm và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).
\( \Rightarrow 0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} \le a\\{b^2} \le b\\{c^2} \le c\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \sqrt {a + {b^2}}  + \sqrt {b + {c^2}}  + \sqrt {c + {a^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {P^2} = a + {b^2} + b + {c^2} + c + {a^2} + 2\left( {\sqrt {\left( {a + {b^2}} \right)\left( {b + {c^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {b + {c^2}} \right)\left( {c + {a^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {c + {a^2}} \right)\left( {a + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Leftrightarrow {P^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c + 2\left( {\sqrt {\left( {a + {b^2}} \right)\left( {b + {c^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {b + {c^2}} \right)\left( {c + {a^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {c + {a^2}} \right)\left( {a + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \ge a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}  + \sqrt {\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \ge a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {{a^2} + bc + {b^2} + ac + {c^2} + ab} \right)\\ = a + b + c + 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\\ = a + b + c + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Rightarrow {P^2} \ge 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = 3.1 + 1 = 4\end{array}\)
\( \Rightarrow P \ge 2\)
\( \Rightarrow \)Min P = 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số a, b, c có 1 số bằng 1 và 2 số bằng 0.
Chọn C.