a) Hình bình hành ABCD gọi $O$ là giao điểm của AC và BD $\Rightarrow O$ là trung điểm của AC, BD (tính chất )
Xét hai tam giác vuông $\Delta OEB$ và $OFD$ có:
$OB=OD$
$\widehat{BOE}=\widehat{DOF}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow\Delta OEB=\Delta OFD$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow BE=DF$ (hai cạnh tương ứng)
Và có $BE//DF$ (vì cùng vuông góc với AC giả thiết)
Từ hai điều trên $\Rightarrow $ tứ giác BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
b) Xét $\Delta HBC$ và $\Delta KDC$ có:
$\widehat{BHC}=\widehat{DKC}=90^o$ (giả thiết)
$\widehat{HBC}=\widehat{KDC}$ ($=\widehat{BAD}$ đồng vị)
$\Rightarrow\Delta HBC\sim\Delta KDC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{CH}{CK}=\dfrac{CB}{CD}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow CH.CD=CK.CB$ (đpcm)
c) Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có:
$ \widehat A$ chung
$\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90^o$
$\Rightarrow\Delta AEB\sim\Delta AHC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AB}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AE.AC=AB.AH$ (1)
Xét $\Delta AFD$ và $\Delta AKC$ có:
$\widehat A$ chung
$\widehat{AFD}=\widehat{AKC} =90^o$
$\Rightarrow\Delta AFD=\Delta AKC$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{AF}{AK}=\dfrac{AD}{AC}$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
$\Rightarrow AF.AC=AK.AD$ (2)
Ta có OE=OF (suy ra từ $\Delta OEB=\Delta OFD$ câu a)
OA=OC (tính chất hình bình hành)
$\Rightarrow OA-OE=OC-OF$ hay $AE=FC$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
$AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC$
$=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC^2$ (đpcm)
