a, ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠B = ∠ACB
Ta có: AM + AN = 2AB
⇒ AM + AN = AB + AC
⇒ AN - AC = AB - AM
⇒ CN = BM
b, Gọi I là giao điểm của BC và MN
Qua M, kể đường thẳng // AN cắt BC tại H
⇒ ∠ANM = ∠HMN (2 góc so le trong)
∠ACB = ∠MHB (2 góc đồng vị)
mà ∠B = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠MHB = ∠B
⇒ ΔBMH cân tại M ⇒ BM = HM
Lại có: BM = CN (theo a) ⇒ HM = CN
Ta có: ∠CNI = ∠HMI (cmt); ∠CIN = ∠HIM (2 góc đối đỉnh)
⇒ $180^{o}$ - ∠CNI - ∠CIN = $180^{o}$ - ∠HMI - ∠HIM
⇒ ∠NCI = ∠MHI
Xét ΔCIN và ΔHIM có:
∠CNI = ∠HMI (cmt)
CN = HM (cmt)
∠NCI = ∠MHI (cmt)
⇒ ΔCIN = ΔHIM (g.c.g)
⇒ IN = IM (2 cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm của MN
⇒ BC đi qua trung điểm I của MN
c) Hiện tại mk đg nghĩ.Chiều sẽ gửi, mk gửi trc phần a và b
