Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản để tính \(f'\left( x \right).\)
+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và phương pháp đổi biến để tính nguyên hàm của \(g\left( x \right).\)Giải chi tiết:Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right)'\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 4} - \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{{x^2} + 4}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 4 - {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}.\)
\( \Rightarrow g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) \( = xf'\left( x \right) + f'\left( x \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \int {xf'\left( x \right)dx} + \int {f'\left( x \right)dx} \\ = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx} + f\left( x \right)dx\\ = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx} + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}.\end{array}\)
Đặt \(I = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx} \)
Đặt \(\sqrt {{x^2} + 4} = t\)\( \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 4\) \( \Rightarrow xdx = tdt\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {\dfrac{{4tdt}}{{{t^3}}} = \int {\dfrac{4}{{{t^2}}}dt} = - \dfrac{4}{t} + C} \\ \Rightarrow I = - \dfrac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\\ \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = - \dfrac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C.\end{array}\)
Chọn B.
