Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức nhân ba: \(\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Hợp nghiệm sau khi giải phương trình.Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos x - \sin 3x = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \cos x - 3\sin x + 4{\sin ^3}x = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right) - 2\sin x + 4{\sin ^3}x = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right) - 2\sin x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right) - 2\sin x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right) - 2\sin x\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left[ {1 - 2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right)} \right] = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 - 2{{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos 2x - \sin 2x} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\sin 4x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\cos x - \sin x} \right)\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) - \sin 4x} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \sin x\\\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) = \sin 4x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\4x = \frac{\pi }{4} - 2x + k2\pi \\4x = \frac{{3\pi }}{4} + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{3\pi }}{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Xét \(x \in \left( {0;\pi } \right)\), ta có:
+ Họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) có nghiệm \(x = \frac{\pi }{4}\) thỏa mãn.
+ Họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{3}\) có các nghiệm \(x = \frac{\pi }{{24}};\,\,x = \frac{{3\pi }}{8};\,\,x = \frac{{17\pi }}{{24}}\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có tổng các nghiệm \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) là \(\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{{24}} + \frac{{3\pi }}{8} + \frac{{17\pi }}{{24}} = \frac{{11\pi }}{8}\).
Chọn C.