Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \). Phân tích \(M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) theo \(MI\).
- Chứng minh đó \(M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Với \(I\) cố định, tìm vị trí của \(M \in \left( P \right)\) để \(I{M_{\min }}\).
- Tìm tọa độ điểm \(I\), từ đó dựa vào mối quan hệ giữa \(IM\) và \(\left( P \right)\) để tìm tọa độ điểm \(M\).Giải chi tiết:Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \). Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\\ = {\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right) + {\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {IB} ^2} - {\overrightarrow {IC} ^2}\\ = 2M{I^2} + \left( {I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}} \right)\end{array}\)
Vì \(I,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cố định nên \(I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}\) không đổi, do đó \(M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà \(M \in \left( P \right)\) nên \(IM\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\left( P \right)\) hay \(IM \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} \) và \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 2} \right)\) cùng phương, với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 vtpt của \(\left( P \right)\).
Tìm tọa độ điểm \(I\) ta gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\). Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left( {x - 1;y;z - 2} \right) + 2\left( {x + 1;y - 1;z - 3} \right) - \left( {x - 3;y - 2;z} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 + 2\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\y + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0\\z - 2 + 2\left( {z - 3} \right) - z = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\2y = 0\\2z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\\z = 4\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 2;0;4} \right)\end{array}\)
Khi đó ta có \(\overrightarrow {IM}  = \left( {a + 2;b;c - 4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {IM} \) và \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 2} \right)\) cùng phương, lại có \(M \in \left( P \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a + 2}}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{{c - 4}}{{ - 2}}\\a + 2b - 2c + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b + 4 = 0\\b + c - 4 = 0\\a + 2b - 2c + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(a + b + c =  - 1 + 2 + 2 = 3\).
Chọn C.