Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích khối càu nội tiếp trong hình nón. A.\(\dfrac{\pi }{6}\) B.\(\dfrac{{4\sqrt 3 \pi }}{{27}}\) C.\(\dfrac{{4\pi }}{{81}}\) D.\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi }}{{54}}\)
Đáp án đúng: B Phương pháp giải: - Giả sử thiết diện qua trục là tam giác SAB và O là tâm mặt đáy của hình nón. - Xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình nón chính là tâm tam giác đều SAB. Tính bán kính R. - Thể tích khối cầu bán kính R là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).Giải chi tiết: Giả sử thiết diện qua trục là tam giác SAB và O là tâm mặt đáy của hình nón, ta có tam giác SAB đều cạnh 1 nên \(SO = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\). Gọi I là tâm khối cầu nội tiếp trong hình nón, dễ thấy O chính là tâm tam giác đều SAB, do đó bán kính khối cầu là \(R = IO = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\). Vậy thể tích khối cầu nội tiếp trong hình nón là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{4\sqrt 3 \pi }}{{27}}\). Chọn B.