Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Gọi chiều rộng của bế nước là \(x\,\,\left( {x > 0} \right)\,\,\left( m \right)\) thì chiều dài của bể nước là \(2x\,\,\left( m \right)\). Gọi chiều cao của bể nước là \(h\,\,\left( {h > 0} \right)\,\,\left( m \right)\), dựa vào công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật rút \(h\) theo \(x\).
- Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (trừ đi diện tích của ô trống bằng 20% diện tích của đáy). Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật có 3 kích thước \(a,\,\,b,\,\,c\) là \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right)\).
- Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).Giải chi tiết:Gọi chiều rộng của bế nước là \(x\,\,\left( {x > 0} \right)\,\,\left( m \right)\) thì chiều dài của bể nước là \(2x\,\,\left( m \right)\). Gọi chiều cao của bể nước là \(h\,\,\left( {h > 0} \right)\,\,\left( m \right)\) ta có thể tích bể nước là \(V = 2x.x.h = 10 \Leftrightarrow h = \dfrac{5}{{{x^2}}}\,\,\left( m \right)\).
Diện tích xung quanh của bể nước là: \({S_{xq}} = 2\left( {2x.h + x.h} \right) = 6xh = \dfrac{{30}}{x}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Diện tích một đáy là \(2x.x = 2{x^2}\,\,\left( m \right)\), suy ra diện tích 2 đáy (trừ đi diện tích của ô trống bằng 20% diện tích của đáy) là: \(2{x^2}.80\% + 2{x^2} = \dfrac{{18}}{5}{x^2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
\( \Rightarrow \) Diện tích toàn phần của bể nước là: \(\dfrac{{30}}{x} + \dfrac{{18}}{5}{x^2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Để giá tiền phải trả là ít nhất thì diện tích toàn phần của bể là nhỏ nhất.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\dfrac{{30}}{x} + \dfrac{{18}}{5}{x^2} = \dfrac{{15}}{x} + \dfrac{{15}}{x} + \dfrac{{18}}{5}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{15}}{x}.\dfrac{{15}}{x}.\dfrac{{18}}{5}{x^2}}} = 9\sqrt[3]{{30}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{x} = \dfrac{{18}}{5}{x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\dfrac{{25}}{6}}}\,\,\left( m \right)\).
Vậy số tiền phải trả cho nhân công ít nhất là \(9\sqrt[3]{{30}}.0,5 \approx 14\) triệu đồng.
Chọn A.
