Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Kẻ \(B'H \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Chứng minh \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\).
- Đặt \(B'H = x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\), tính \(BH\) theo \(x\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//CM\,\,\left( {K \in AB} \right)\), tính \(B'K\) theo \(x\), từ đó tính \({S_{ABB'A'}}\) theo \(x\).
- Tính \({V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}{V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{3}{2}B'K.{S_{ABB'A'}}.d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = B'H.{S_{\Delta ABC}}\). Giải phương trình tìm \(x\), từ đó tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).Giải chi tiết:
Kẻ \(B'H \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\B'H \subset \left( {BCC'B'} \right);\,\,B'H \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Đặt \(B'H = x\,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow BH = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (Định lí Pytago trong tam giác vuông \(BB'H\)).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(CM \bot AB\) và \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)  (do \(\Delta ABC\) đều ạnh \(a\) ).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//CM\,\,\left( {K \in AB} \right)\), áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\dfrac{{HK}}{{CM}} = \dfrac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{a}\) \( \Rightarrow HK = \dfrac{{\sqrt 3 \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(B'HK\) ta có:
\(\begin{array}{l}B'{K^2} = B'{H^2} + H{K^2} = {x^2} + \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = \dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{1}{4}{x^2}\\ \Rightarrow B'K = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot B'H\\AB \bot HK\,\,\left( {HK//CM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {B'HK} \right) \Rightarrow AB \bot B'K\).
Khi đó ta có: \({S_{ABB'A'}} = B'K.AB = \dfrac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\)
Ta có: \(CC'//BB' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {CC';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABB'A'}}.d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}.\dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}}\end{array}\)
Lại có \({V_{ABC.A'B'C'}} = B'H.{S_{\Delta ABC}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{5} = x\\ \Leftrightarrow 4\left( {3{a^2} + {x^2}} \right) = 25{x^2}\\ \Leftrightarrow 21{x^2} = 12{a^2}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}a\end{array}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{14}}\).
Chọn B.