Lời giải:

Đặt \(x-1=t\Rightarrow x-2=t-1; x=t+1\)

Ta có: \((x-2)^4-x^4=y^3\)

\(\Leftrightarrow (t-1)^4-(t+1)^4=y^3\)

\(\Leftrightarrow [(t-1)^2-(t+1)^2][(t-1)^2+(t+1)^2]=y^3\)

\(\Leftrightarrow -4t(2t^2+2)=y^3\)

\(\Leftrightarrow y^3+8t(t^2+1)=0\)

\(\Rightarrow y^3\vdots 8\Rightarrow y\vdots 2\). Đặt \(y=2y_1\Rightarrow 8y_1^3+8t(t^2+1)=0\)

\(\Leftrightarrow y_1^3+t(t^2+1)=0\)

Gọi ƯCLN của \((y_1,t)=d\). Khi đó \(\left\{\begin{matrix} y_1=da\\ t=db\end{matrix}\right.(a,b)=1\)

\(\Rightarrow d^3a^3+d^3b^3+db=0\)

\(\Leftrightarrow d^2a^3+d^2b^3+b=0\)

\(\Leftrightarrow d^2(a^3+b^3)=-b\) (*)

Gọi ƯCLN của \((a^3+b^3, b)=u\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3\vdots u\\ b\vdots u\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3\vdots u\\ b\vdots u\end{matrix}\right.\)

Mà (a,b) nguyên tố cùng nhau nên suy ra $u=1$

Hay \(a^3+b^3; b\) nguyên tố cùng nhau.

Do đó từ (*) suy ra \(\left\{\begin{matrix} d^2=\pm b\\ a^3+b^3=\mp 1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{\begin{matrix} d^2=b\\ a^3+b^3=-1\end{matrix}\right.\) \((b\geq 0)\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=-1\)

Vì \(a^2-ab+b^2\geq 0\forall a,b\in\mathbb{Z}\Rightarrow a+b=-1; a^2-ab+b^2=1\)

\(\Rightarrow (a+b)^2-3ab=1\)

\(\Leftrightarrow (-1)^2-3ab=1\)

\(\Leftrightarrow ab=0\). Kết hợp với \(a+b=-1; b\geq 0\Rightarrow b=0; a=-1\)

\(\Rightarrow d=0\Rightarrow y=0; x=1\)

TH2: \(\left\{\begin{matrix} d^2=-b\\ a^3+b^3=1\end{matrix}\right.(b\leq 0)\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=1\). Vì \(a^2-ab+b^2\geq 0\forall a,b\in\mathbb{Z}\) nên :

\(a+b=a^2-ab+b^2=1\)

\(\Rightarrow (a+b)^2-3ab=1\Leftrightarrow 1-3ab=1\Rightarrow ab=0\)

Kết hợp với \(a+b=1; b\leq 0\Rightarrow b=0; a=1\)

\(\Rightarrow d=0\Rightarrow x=1; y=0\)

Vậy \(x=1;y=0\)