Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Khai triển hằng đẳng thức.- Sử dụng: \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), từ đó tìm \(\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right),\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right)\).- Giải phương trình tìm nghiệm nguyên \(m,\,\,n\).Giải chi tiết:Ta có:\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\sin x - m} \right)^2} + {\left( {\cos x - n} \right)^2}\\f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2m\sin x + {m^2} + {\cos ^2}x - 2n\cos x + {n^2}\\f\left( x \right) = 1 - 2\left( {m\sin x + n\cos x} \right) + {m^2} + {n^2}\end{array}\)Ta có: \( - \sqrt {{m^2} + {n^2}}  \le m\sin x + n\cos x \le \sqrt {{m^2} + {n^2}} \)\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  \ge  - 2\left( {m\sin x + n\cos x} \right) \ge  - 2\sqrt {{m^2} + {n^2}} \\ \Rightarrow 1 + 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  \ge 1 - 2\left( {m\sin x + n\cos x} \right) \ge 1 - 2\sqrt {{m^2} + {n^2}} \\ \Rightarrow 1 + 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  + {m^2} + {n^2} \ge f\left( x \right) \ge 1 - 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  + {m^2} + {n^2}\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = 1 - 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  + {m^2} + {n^2}\\\,\,\,\,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = 1 + 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  + {m^2} + {n^2}\end{array}\)Theo bài ra ta có:\(\begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = 52\\ \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  + {m^2} + {n^2} + 1 + 2\sqrt {{m^2} + {n^2}}  + {m^2} + {n^2} = 52\\ \Leftrightarrow 2 + 2{m^2} + 2{n^2} = 52\\ \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 25\end{array}\)Vì \(m,\,\,n \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {m;n} \right) \in \left\{ \begin{array}{l}\left( {0;5} \right);\left( {0; - 5} \right);\left( {5;0} \right);\left( { - 5;0} \right);\\\left( {3;4} \right);\left( {3; - 4} \right);\left( { - 3;4} \right);\left( { - 3; - 4} \right)\\\left( {4;3} \right);\left( {4; - 3} \right);\left( { - 4;3} \right);\left( { - 4; - 3} \right)\end{array} \right\}\).Vậy có 12 bộ số \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn.Chọn D