Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}(aeq 0; a,b<10)\)
Theo bài ra, ta viết lại các số \(a,b,\overline{ab}\) dưới dạng như sau:
\(\left\{\begin{matrix} a=x^2\\ b=y^2\\ \overline{ab}=z^2\end{matrix}\right.\Rightarrow z^2=10x^2+y^2\Leftrightarrow (z-y)(z+y)=10x^2\)
Trong đó, coi như \(x,y,z\in\mathbb{N}\), vì âm hay dương cũng không ảnh hưởng đến kết quả bài toán.
Vì \(0< a< 10\Rightarrow 0< x^2< 10\Leftrightarrow x\in\left\{1;2;3\right\}\)
Tương tự
\(\bullet\)Nếu \(x=1\) \(\Rightarrow (z-y)(z+y)=10\)
Thấy \(z-y-(z+y)=-2y\) chẵn nên $z-y,z+y$ có cùng tính chẵn lẻ
Cùng chẵn thì \((z-y)(z+y)\vdots 4\Leftrightarrow 10\vdots 4\) (vô lý). Cùng lẻ thì \(10=(z-y)(z+y)ot\vdots 2\) (vô lý)
\(\bullet\) Nếu \(x=2\Rightarrow (z-y)(z+y)=40\). Vì \(y,z\in\mathbb{N}\Rightarrow y+z>0\Rightarrow z-y>0\). Ta xét các TH sau:
| z-y | 2 | 4 |
| z+y | 20 | 10 |
| z | 11 | 7 |
| y | 9 | 3 |
Vì \(b=y^2<10\Rightarrow y\leq 3\), do đó \((x,y,z)=(2,3.7)\Leftrightarrow \overline{ab}=49\)
\(\bullet\) Nếu \(x=3\Rightarrow (z-y)(z+y)=90\), tương tự như TH \(x=1\) ta cũng thấy không thỏa mãn
Vậy \(\overline{ab}=49\)
