Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
a) Để ý \(\Delta AOO' \sim \Delta ACD\)
b) Dự đoán điểm cố định bằng cách vẽ nhiều hình, dùng cảm quan hình học đoán tính chất điểm \(K\) cố định cần tìm chính là một đỉnh của hình bình hành \(OAO'K\).Giải chi tiết:
a) Xác định vị trí của đường thẳng \(d\) sao cho đoạn thẳng \(CD\) có độ dài lớn nhất.
Ta có đường trung trực của \(AB\) là \(OO'\)
Do đó \(\angle AOO' = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \angle ACB\) và \(\angle AO'O = \dfrac{1}{2}\angle AO'B = \angle ADB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AOO' \sim \Delta ACD\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{{OO'}}{{CD}} = \dfrac{{AO'}}{{AD}} \Rightarrow CD = \dfrac{{AC.OO'}}{{AO}}\end{array}\)
\( \Rightarrow CD\) lớn nhất khi \(AC\) lớn nhất, khi đó \(AC\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) và \(AD\) là đường kính của đường tròn \(\left( {O'} \right)\), tương đương với đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AB\) tại \(B\).
b) Gọi \(M\) là điểm di chuyển từ điểm \(A,\) ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn \(\left( O \right);\,\,N\) là điểm di chuyển từ điểm \(A,\)cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn \(\left( {O'} \right)\) sao cho \(\angle AOM\) luôn bằng \(\angle AO'N.\) Chứng minh đường trung trực của \(MN\)luôn đi qua một điểm cố định.
Vẽ hình bình hành \(AOKO'\). Ta có:
\(\angle MOK = \angle MOA + \angle AOK = \angle NO'A + \angle AO'K = \angle NO'K\)
Và \(MO = OA = KO';OK = AO' = NO'\) \( \Rightarrow \Delta MOK = \Delta KO'N\) \( \Rightarrow MK = NK\) nên \(K\) thuộc trung trực của \(MN\)
Vì \(A,O,O'\) cố định nên K cố định.
Vậy đường trung trực của \(MN\)luôn đi qua điểm K cố định.
