Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Để ý \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3\) \( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\,\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c\end{array} \right.\), đây là một bài toán quen thuộc của lớp 8.Giải chi tiết:Có \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3 \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Từ hệ phương trình, cộng theo vế ta có: \(\left( {a + b + c} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)
TH1: \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow a = - \left( {b + c} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^3} = - {b^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - {c^3}\)\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)
TH2: \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - y\), thay vào phương trình \(ax + by = c\) ta được \(y\left( {a - b} \right) = a - c\)
+ Xét \(a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\), thay vào phương trình \(bx + cy = a\)ta được \(cy = b\left( {1 - x} \right) = by\) \( \Rightarrow y\left( {b - c} \right) = 0\)
Nếu \(y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow a = b = c\), thỏa mãn \(\left( * \right)\)
Nếu \(y \ne 0 \Rightarrow c = b\). Do đó \(a = b = c\), thỏa mãn \(\left( * \right)\)
+ Xét \(a - b \ne 0 \Rightarrow y = \dfrac{{a - c}}{{a - b}}\) \( \Rightarrow x = \dfrac{{c - b}}{{a - b}}\) thay vào phương trình \(bx + cy = a\)ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{b\left( {c - b} \right)}}{{a - b}} + \dfrac{{c\left( {a - c} \right)}}{{a - b}} = a\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow a = b = c\), không thỏa mãn vì đang xét \(a - b \ne 0\)
Vậy khi hệ phương trình có các nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì \(a + b + c = 0\) hoặc \(a = b = c\) thỏa mãn \(\left( * \right)\)
Hoàn tất chứng minh.
