Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Đặt cạnh hình lăng trụ bằng 2 đơn vị. Gọi \(O,\;O'\) lần lượt là trung điểm \(AC\), \(A'C'\). Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;\sqrt 3 ,0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Khi đó \(C\left( { - 1;0;0} \right)\), \(A'\left( {1;0;2} \right)\), \(C'\left( { - 1;0;2} \right)\).
Suy ra phương trình của hai đường thẳng \(A'C\) và \(BC'\) lần lượt là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 0}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t'}\\{y = \sqrt 3 t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\) Do đó ta có thể coi \(M\left( {t + 1;0;t + 2} \right)\) và \(N\left( {t' - 1;\;\sqrt 3 t'; - 2t' + 2} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {NM} = \left( {t - t' + 2; - \sqrt 3 t';t + 2t'} \right)\). Do \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\) nên \(\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {CA'} = \overrightarrow {NM} .\overrightarrow {C'B} = 0\) Hay ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t + t' + 2 = 0}\\{t + 8t' - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - \dfrac{6}{5}}\\{t' = \dfrac{2}{5}}\end{array}} \right.\) Suy ra \(N\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{{2\sqrt 3 }}{5};\dfrac{6}{5}} \right)\), do đó \(NB = \dfrac{{6\sqrt 2 }}{5}.NC' = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{5}\). Vậy \(\dfrac{{NB}}{{NC'}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn D
