Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng \(DM \bot AI\), trong \(\left( {DD'M} \right)\) dựng \(DH \bot D'M\,\,\left( {H \in D'M} \right)\), chứng minh \(d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right) = DH\).
- Sử dụng diện tích tam giác tính \(DM\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(DH\).Giải chi tiết:
Gọi \(O = AD' \cap A'D\) \( \Rightarrow O = A'D \cap \left( {AD'I} \right)\).
Do đó \(\dfrac{{d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right)}} = \dfrac{{OA'}}{{OD}} = 1 \Rightarrow d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng \(DM \bot AI\), trong \(\left( {DD'M} \right)\) dựng \(DH \bot D'M\,\,\left( {H \in D'M} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AI \bot DM\\AI \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {DD'M} \right) \Rightarrow AI \bot DH\\\left\{ \begin{array}{l}DH \bot D'M\\DH \bot AI\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {AD'I} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {AD'I} \right)} \right) = DH\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_{ADI}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABI}} - {S_{CDI}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AB.BC - \dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}BC - \dfrac{1}{2}CD.\dfrac{1}{2}BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.3.2 = 3\end{array}\)
Lại có \({S_{ADI}} = \dfrac{1}{2}DM.AI \Rightarrow DM = \dfrac{{2{S_{ADI}}}}{{AI}} = \dfrac{{2.3}}{{\sqrt {A{B^2} + B{I^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }}\)
Áp dụng định lí Pytago: \(DD' = \sqrt {AD{'^2} - A{D^2}} = \sqrt {5 - 4} = 1\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(DD'M\) có: \(DH = \dfrac{{DD'.DM}}{{\sqrt {DD{'^2} + D{M^2}} }} = \dfrac{{1.\dfrac{6}{{\sqrt {10} }}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{{18}}{5}} }} = \dfrac{{3\sqrt {46} }}{{23}}\),
Vậy \(d\left( {A';\left( {AD'I} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt {46} }}{{23}}\).
Chọn C
