Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Đặt phép tính chia và sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
- Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức thương.Giải chi tiết:Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 7x + 20 = {x^3} + 4{x^2} - 3{x^2} - 12x + 5x + 20\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2}.\left( {x + 4} \right) - 3x.\left( {x + 4} \right) + 5.\left( {x + 4} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 3x + 5} \right).\left( {x + 4} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\left( {{x^2} - 3x + 5} \right)\) là đa thức thương trong phép chia đa thức \(\left( {{x^3} + {x^2} - 7x + 20} \right)\) cho đa thức \(\left( {x + 4} \right)\).
Ta có: \({x^2} - 3x + 5\)\( = {x^2} - 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot x + {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4}\)\( = {\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4}\)
Vì \({\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow {\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \ge \dfrac{{11}}{4}\) với mọi \(x \in R\).
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x - \dfrac{3}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \dfrac{3}{2}\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left( {{x^2} - 3x + 5} \right)\) là \(\dfrac{{11}}{4}\) tại \(x = \dfrac{3}{2}\).
Vậy thương của phép chia đa thức \({x^3} + {x^2} - 7x + 20\) cho đa thức cho đa thức \(x + 4\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{{11}}{4}\) tại \(x = \dfrac{3}{2}\).
Chọn C.