- Xác định tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\). - Sử dụng định lí Pytago, chứng minh: Để \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(IH\) đạt giá trị lớn nhất. - Nhận xét \(IH \le IM\). - Khi \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\). - Sử dụng: Khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).Giải chi tiết:Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {1^2} - \left( { - 7} \right)} = 3\). Ta có \(MI = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 < R\) nên \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(r = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = \sqrt {9 - I{H^2}} \). Để \(r\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(IH\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có \(\Delta IMH\) vuông tại \(H\) nên \(IH \le IM\), do đó \(I{H_{\max }} = IM = \sqrt 3 \) khi \(H \equiv M\) hay \(IM \bot \left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 1;1} \right)\) là: \(x - y + z - 3 = 0\). Vậy \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 \). Chọn C
