Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Gọi \({M_1}\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là giao điểm của \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\).
\(\left\{ \begin{array}{l}4x_1^2 + 9y_1^2 = 36\\4x_2^2 + 9y_2^2 = 36\end{array} \right. \Rightarrow \left( {4x_1^2 + 9y_1^2} \right) - \left( {4x_2^2 + 9y_2^2} \right) = 0\) suy ra ta có phương trình \(4\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 9\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0\).
Phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\)  đi qua \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec n = \left( {4;\,\,9} \right)\) là VTPTGiải chi tiết:Gọi \({M_1}\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là giao điểm của \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) và Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\).
Vì \(M{M_1} = {\rm{ }}M{M_2}\) nên \(M\) là trung điểm của \({M_2}{M_1}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\1 = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{y_1} + {y_2} = 2\end{array} \right.\)
Vì \({M_1}\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) thuộc Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x_1^2 + 9y_1^2 = 36\\4x_2^2 + 9y_2^2 = 36\end{array} \right. \Rightarrow \left( {4x_1^2 + 9y_1^2} \right) - \left( {4x_2^2 + 9y_2^2} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {4x_1^2 + 9y_1^2} \right) - \left( {4x_2^2 + 9y_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x_1^2 + 9y_1^2 - 4x_2^2 - 9y_2^2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4x_1^2 - 4x_2^2} \right) + \left( {9y_1^2 - 9y_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) + 9\left( {y_1^2 - y_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9\left( {{y_1} - {y_2}} \right)\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 18\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 9\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \vec n = \left( {4;\,\,9} \right)\) là VTPT của \({M_1}{M_2}\).
Phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\)  đi qua \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec n = \left( {4;\,\,9} \right)\) là VTPT.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 4 + 9y - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 9y - 13 = 0\end{array}\)
Vậy phương trình \({M_1}{M_2}\) là \(4x + 9y--13 = 0\).
Chọn A.