Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức để đưa biểu thức đã cho về dạng \(P = {\left( {x \pm a} \right)^2} + c \ge c\).
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x =  \mp a\).Giải chi tiết:\(B = {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x + 2\)\( = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2} + 1\)\( = {\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]^2} + 1 \ge \frac{9}{{16}} + 1 = \frac{{25}}{{16}}\)
Ta có: \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]^2} \ge {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]^2} + 1 \ge \frac{9}{{16}} + 1 = \frac{{25}}{{16}}\) với mọi \(x \in R\)
Vậy \(B \ge \frac{{25}}{{16}}\) với mọi \(x \in R\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là \(\frac{{25}}{{16}}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).