Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Phương pháp đặt ẩn phụGiải chi tiết:Điều kiện xác định: \(x \ne 0;x \ne  - 1.\)
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^3}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} + 4\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2} + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + {{\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}} \right] = 4\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)}^2} + 3\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right] = 4\end{array}\)
Đặt \(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = t\), ta có: \(t\left( {{t^2} - 3t} \right) = 4 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right){\left( {t + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\)
Với \(t = 1:\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Với \(t = 2:\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} =  - 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 1 = 0\), phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\).