Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Nhận thấy \(D\) là trung điểm của \(FA\), từ đó ta đi bắc cầu gócGiải chi tiết:Có \(\widehat {ECF} = \widehat {AEC} - \widehat {AFC}\)
\(\widehat {EBF} = \widehat {AEB} - \widehat {AFB}\)
Vì \(CF = CD \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CDF} = \widehat {ADB} = \widehat {ADM} \Rightarrow MD\,{\rm{//}}\,CF\), mà \(M\) là trung điểm \(AC \Rightarrow D\) là trung điểm \(AF.\)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), thế thì \(DI\,{\rm{//}}\,BF\) (tính chất đường trung bình)
Vậy \(\widehat {AFC} = \widehat {ADM} = \widehat {ADB}\,\,\left( 1 \right)\)
Dễ thấy \(\Delta ACG \sim \Delta ADB\), \(E\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của cặp cạnh tương ứng \(AG\) và \(AB\) nên ta có \(\Delta AEC \sim \Delta AID \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {AID}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có \(\widehat {ECF} = \widehat {AEC} - \widehat {AFC} = \widehat {AID} - \widehat {ADB}\,\,\left( 5 \right)\)
Vì \(A{M^2} = AD.AE \Rightarrow A{B^2} = AD.AE \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEB \Rightarrow \widehat {AEB} = \widehat {ABD}\,\,\left( 3 \right)\)
Lại có \(\widehat {AFB} = \widehat {ADI}\,\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta có \(\widehat {EBF} = \widehat {AEB} - \widehat {AFB} = \widehat {ABD} - \widehat {ADI}\,\,\,\left( 6 \right)\)
Từ \(\left( 5 \right),\left( 6 \right)\), để chứng minh \(\widehat {EBF} = \widehat {ECF}\), ta sẽ chứng minh \(\widehat {AID} - \widehat {ADB} = \widehat {ABD} - \widehat {ADI} \Leftrightarrow \widehat {AID} + \widehat {ADI} = \widehat {ABD} + \widehat {ADB} \Leftrightarrow 180^\circ  - \widehat {DAI} = 180^\circ  - \widehat {DAB}\), hiển nhiên đúng.
Vậy \(\widehat {EBF} = \widehat {ECF}\).